06 – Métodos para el cálculo de áreas curvas

Lo que más hace hace un diseñador de barcos es calcular áreas de superficies curvas. Y es que los barcos son curvas. Hoy en día diseñando con la ayuda de los programas de dibujo del ordenador la integración es fácil y automática, pero hasta llegar a ese punto hemos pasado por un calvario de fórmulas y aparatos que ahora quiero recordar.

El planímetro

Era un aparato formado por unas reglas unidas que se fijaba en la mesa de dibujo. Dándole la escala del plano y resiguiendo el contorno de la superficie curva da el área.

Multiplicadores Simpson

Si no existía un plano a escala o no teníamos planímetro, en ocasiones utilizábamos los Multiplicadores Simpson. Es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral. La fórmula fue utilizada por primera vez por Torricelli, pero debe su nombre al matemático Inglés Thomas Simpson. Corresponde a la regla del tonel que Kepler ya había formulado en 1615. Total, hasta los toneles se parecen a un barco si lo dividimos en trapecios.

simpson

 

1ª Regla  (Para ordenadas impares y los intervalos pares)

i= intervalo, y = ordenadas

A = 1/3 i (y + 4y2 + y3) nos dan unos coeficientes multiplicadores de 1 4 1

en general:

A = 1/3 i (y1 + 4y2 + 2y3 + 4y4 + 2y5 + … 4yn-1 + yn)

Coeficientes:  1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1

Ordenadas:    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Con esta regla, también llamada de 1/3,  se obtiene mucha precisión en el cálculo del área de un trapecio con un lado curvo. Es la más utilizada.

2ª Regla ) (Para ordenadas pares, intervalos impares)

A = 3/8 i ( y1 + 3y2 + 3y3 + y4)  nos dan unos coeficientes multiplicadores de 1 3 3  1

y el general:

A = 3/8 i ( y1 + 3y2 + 3y3 + 2y4 + 3y5 + 3y6 + 2y 7 + … 2yn-3 + 3yn-2 +3yn-1 + yn)

Coeficientes:  1 3 3 2 3 3 2 3 3 1

Ordenadas:    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Método de los trapecios

A = i (1/2 y1 + y2 + + … + yn-1 + 1/2 yn)

Regla de la ordenada media

A = i (y’ + y” + y”’ + y ””)

Método de Tchebycheff (Las ordenadas equidistan a pares del centro de ellas)

A = L (y1 + y2 +  y3)/3

y en general:

A = L ( y1 + y2 + y3 + … + yn)/n

Método de las parábolas medias

A = 1/12 i (4,5y1 + 14y2 +  11,5y3 + 12y4 + 12y5  + …

…+ 12yn-3 + 11,5yn-2 + 14yn-1 + 4,5yn)

 Método de las cúbicas medias

A = 1/12 i (4y1 + 15,5y2 +  10y3 + 12,5y4 + 12y5 + 12y6 + …

…+ 12yn-4 + 12,5yn-3 + 10yn-2 + 15,5yn-1 + 4yn)

Y aún existen más métodos …

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